La Banda de Möebius y la Botella de Klein

Hoy vamos a aprender un poco de matemáticas. Sí, matemáticas. No salgas corriendo de la página ni pulses la X del explorador rápidamente. Espera un poco a ver qué cuento al menos ¿no?.

La banda de Möebius es una superficie con un solo lado. ¿Qué significa esto?. Imagina un plano (un mantel), tiene dos lados ¿no?. Pues la banda de Möebius sólo tiene una. Parece mentira. Mira, haz la prueba: coge un folio, recorta una tira más o menos fina verticalmente, si unes sus extremos tienes una cinta para colocártela en el pelo o vete tú a saber qué. Con un boli te pones en un lado de la cinta y al final llegas, por el mismo lado, a donde empezaste a pintar, igualmente puedes hacerlo por el otro lado de la cinta. Pero si ahora despegas los extremos que habías juntado, le das la vuelta a uno, los vuelves a unir y vuelves a hacer el numerito del boli te das cuenta que a la primera vuelta de la cinta estás por debajo de donde habías empezado y puedes seguir pintando hasta donde habías empezado después de haberle dado dos vueltas al invento. ¿Te ha salido bien? Esto pasa porque sólo tiene una cara a pesar de lo que pueda parecer. En matemáticas es un objeto "no orientable" y es el típico ejemplo de objetos de este tipo. Si tratáramos de pintar un lado de un color y el otro lado de otro, llegaría un momento en que ambos colores chocarían ya que, en realidad, ¡estás pintando el mismo lado!.

A pesar de su nombre "banda de Möebius" fue co-descubierta independiente mente por Möbius y otro señor llamado Johann Benedict Listing en 1858, pero el otro se llevó toda la fama y a Listing prácticamente no le conoce nadie.

Si subimos una dimensión más nos encontramos con la botella de Klein, que es un objeto cerrado que sólo tiene una superficie (un "lado" pero con una dimensión más) donde no se puede diferenciar el "afuera" del "adentro. Es decir, no tiene ni interior ni exterior.

Se puede obtener una representación tridimensional de una Botella de Klein introduciendo el extremo delgado de una botella o de un matraz a través de uno de los lados del recipiente y uniéndolo a la base. Hay que recalcar que dicha representación no es una Botella de Klein. Físicamente puede ser realizada sólo en un espacio de cuatro dimensiones, puesto que debe pasar a través de sí misma sin la presencia de un hoyo. Así que no os pongáis en vuestras casas a ver si la sacáis o si no la sacáis.

Fue descubierta por el matemático Felix Klein y de ahí viene su nombre. Una de las excusas que siempre tenemos los matemáticos cuando no encontramos algo es decir: ayer los guardé en una botella de Klein pero cuanodo he ido a buscarlo resulta que no estaba dentro... Lo mejor es que la superficie total de esta botella es igual a cero (increíble).

Otra forma de construirla es usando la banda de Möebius: si unimos por su borde dos cintas de Möebius obtenemos la botella de Klein. Si se quiere hacer una de estas en el espacio tridimensional, tendrá que pasar a través de sí misma. Yo creo que la descubrió para poder llevársela con sus amigos a los botellones ya que ¡no se puede llenar nunca!.