La paradoja de Banach-Tarski

Bueno hoy toca matemáticas (así que Maite ya puedes dejar de leer que ya sé que no te interesa aunque échale un ojo al dibujo al menos). Voy a hablar del milagro bíblico de la multiplicación de los panes y los peces pero con esferas y magia matemática (bueno no es magia pero casi ¿no?). Dice así:

Si tomamos la esfera S² (es decir, una esfera en el espacio) de radio 1 es posible dividirla en 8 partes tal que aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro podemos construir dos esferas de radio 1 iguales a la de partida. De hecho el número de piezas puede reducirse hasta 5 y se puede demostrar que con 4 es imposible.

Por un lado, si conseguimos asumir como cierto el resultado podemos pensar en realizarlo. Es decir, en tomar una esfera material de radio 1 y dividirla en las partes correspondientes para a partir de ellas formar las otras dos esferas. Quitémonos esa idea de la cabeza. No se puede hacer en el mondo real, ya que una de las piezas está formada sólo por un punto y físicamente hablando el concepto geométrico de punto no es real.

Por otro lado uno podría decir: no puede ser, el volumen final dobla al inicial. Vamos, que en el caso de que las esferas sean materiales nos estaríamos saltando a la torera el principio de conservación de la materia. Acabamos de decir que el resultado no se puede comprobar en la realidad, pero de todas formas el tema del volumen matemáticamente hablando parece que sigue siendo un problema ya que los movimientos rígidos deben conservar el volumen. Para darse cuenta de que tal problema no existe tenemos que recurrir a la teoría de medida. Digamos que esta teoría es la que se encarga de asociar una medida a cada conjunto, en este caso el volumen. La cuestión en este caso es que las partes en las que dividimos la esfera son conjuntos no-medibles (que también los hay). No es que tengan medida 0, sino que no se pueden medir. Es decir, no se les puede asociar una medida y por tanto no podemos apelar a la conservación de la medida por movimientos rígidos. Intuitivamente es complicado de entender pero matemáticamente es totalmente cierto. La existencia de estos conjuntos no-medibles se prueba utilizando el famoso y controvertido históricamente axioma de elección.

La demostración del resultado está basada en las propiedades de los giros del espacio y utiliza varios resultados, entre ellos uno de Hausdorff relativo a los giros y el axioma de elección comentado anteriormente. Es bastante engorrosa para el lector poco iniciado y me atrevería a decir que hasta para el iniciado. Pero lo bueno que tiene es que es constructiva, es decir, no nos demuestra que el resultado es cierto mediante razonamientos que nada tienen que ver con el mismo sino que nos dice exactamente cómo tenemos que dividir la esfera.

Otra conclusión que podemos sacar a partir de este resultado es la siguiente:

Podemos tomar una esfera del tamaño de la Tierra, dividirla en un cierto número finito de partes y después de aplicarle movimientos rígidos oportunos a las mismas formar una esfera del tamaño del Sol.

Si queréis leer más sobre este tema podéis visitar la página de Gaussianos que es una página de cosas de matemáticas muy interesante. También podéis echarle un vistazo a la demostración aunque si no estáis muy versados en matemáticas quizá no entendáis nada, podéis verla aquí en este artículo de Carlos Ivorra.